Acciones didácticas para el tratamiento de
conceptos de análisis matemático basado en la resolución de problemas en la
carrera de Ingeniería Geográfica
Didactic actions for teaching mathematical analysis
concepts through problem-solving in the Geographic Engineering major
Artículo de investigación
AUTOR:
Juca Martins
Celestino Sachipia[1]
Correo: jucasachipia@gmail.com
Orcid: https://orcid.org/0009-0000-2843-6058
Departamento
de Matemática. Universidad Agostinho Neto. Angola.
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Recibido |
Aprobado |
Publicado |
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22 de febrero de 2026 |
18 de marzo del 2026 |
10 de mayo de 2026 |
Resumen
La enseñanza del Cálculo Integral en la carrera de Ingeniería Geográfica
de la Universidad Agostinho Neto suele manifestar un formalismo tradicional que
limita la calidad del tratamiento conceptual. Objetivo: Proponer un
procedimiento metodológico, sustentado en acciones didácticas basadas en la
resolución de problemas, que contribuya a elevar la calidad en la formación de
conceptos de la integral definida e indefinida en la disciplina Análisis
Matemático II. Metodología y métodos: La investigación adoptó un enfoque
cualitativo y de diseño instructivo fundamentado en la teoría de los campos
conceptuales, la reificación cognitiva y el Enfoque Ontosemiótico.
Se emplearon métodos teóricos como la modelación didáctica, articulando la
mediación heurística y registros de representación semiótica mediante
situaciones-problema contextualizadas en la topografía y el análisis espacial.
Como método empírico para la validación teórica, se utilizó el criterio de
expertos mediante un panel de siete especialistas. Resultados: La evaluación
confirmó la pertinencia, coherencia epistemológica y viabilidad metodológica de
la propuesta alternativas para la formación de ingenieros.
Palabras clave: Conceptos matemáticos, procedimiento metodológico, resolución de problemas, Enfoque Ontosemiótico, Ingeniería Geográfica.
Abstract
The teaching of Integral Calculus in the Geographic Engineering major at
Agostinho Neto University frequently exhibits a traditional formalism that
restricts the quality of conceptual treatment. Objective: To propose a
methodological procedure, sustained by didactic actions rooted in problem-solving,
to improve concept formation quality regarding definite and indefinite
integrals within the Mathematical Analysis II course. Methodology and methods:
The research adopted a qualitative approach and an instructional design
grounded in conceptual fields theory, cognitive reification, and the
Onto-semiotic Approach. Theoretical methods included didactic modeling,
articulating heuristic mediation and semiotic representation registers through
situational problems contextualized in topography and spatial analysis. As an
empirical method for theoretical validation, expert judgment was implemented
through a panel of seven specialists. Results: The evaluation confirmed the
relevance, epistemological consistency, and methodological feasibility of the alternative
proposal for engineering education.
Keywords: Mathematical concepts, methodological procedure,
problem-solving, onto-semiotic approach, Geographic Engineering.
INTRODUCCIÓN
La internalización de
los conceptos fundamentales del Análisis Matemático constituye una de las
mayores complejidades cognitivas en la formación técnica universitaria. En la
República de Angola, el desarrollo de competencias de ingeniería exige una
profunda transformación de los procesos instructivos. Particularmente, en la carrera
de Ingeniería Geográfica de la Universidad Agostinho Neto, el Análisis
Matemático II y, específicamente, el Cálculo Integral, trascienden la mera
operatividad instrumental; representan el soporte analítico indispensable para
la modelación geodésica, el cálculo de volúmenes topográficos, el procesamiento
de datos geoespaciales y la cartografía de precisión. Por ende, la rigurosidad
de la transposición didáctica de estos conceptos impacta directamente en la idoneidad
profesional del egresado.
A pesar de su
relevancia, la educación matemática universitaria adolece históricamente de un
enfoque formalista y abstracto, priorizando la memorización algorítmica sobre
la comprensión conceptual subyacente (Artigue, 2020; Santos-Trigo, 2021).
Históricamente, situar al estudiante como gestor activo de su aprendizaje ha
sido un pilar pedagógico fundamental (Comenius, 1632/1986; Pestalozzi,
1801/2009). Estas bases alcanzaron madurez científica con el enfoque
histórico-cultural, demostrando que el aprendizaje desarrollador se consolida
mediante la actividad constructiva y la resolución de contradicciones. La
construcción activa de significados permite al discente configurar estructuras
mentales flexibles, superando el aprendizaje mecánico que limita la
transferencia de conocimientos ante escenarios profesionales inéditos (Ausubel,
2002; Beltrán, 1998).
Para superar esta
fractura instructiva, la Didáctica de la Matemática contemporánea sitúa a la
Resolución de Problemas (RDP) como el motor principal de la conceptualización,
transitando desde la fijación de contenidos hasta su uso como principio
epistemológico de andamiaje (Kilpatrick, 2020; Santos-Trigo, 2021; Schoenfeld,
2022). En el entorno universitario angolano, sin embargo, los problemas se
restringen tradicionalmente a una función paliativa o de ejercitación final,
ignorando su potencial heurístico para introducir intuitivamente los conceptos.
Esta desconexión
metodológica se agudiza en la enseñanza del Cálculo Integral. Mediante la
aplicación de métodos científicos de investigación empírica —como la revisión
documental de planes de estudio, la observación de clases, y encuestas a
docentes y estudiantes de la carrera— se detectaron severas limitaciones
metodológicas en el tratamiento didáctico de la integral indefinida y definida,
sintetizadas en las siguientes contradicciones científicas:
- Predominio de un enfoque formal-deductivo
terminal: Introducción abstracta e inmediata de la integral, omitiendo el
camino heurístico y su necesidad histórica o práctica.
- Linealidad en la fase de desarrollo:
Énfasis desmedido en la aplicación mecánica de reglas de integración,
fragmentando la interconexión con el perfil profesional geográfico.
- Ausencia de generalización conceptual:
Escasez de espacios didácticos para transferir el concepto hacia nuevas
clases de objetos matemáticos o problemas de modelación real.
- Desarticulación entre representaciones
semióticas: Ruptura en la transición de los registros verbales, gráficos,
analíticos y numéricos del concepto de acumulación integral.
- Tratamiento punitivo del error: Sanción formal
de las desviaciones procedimentales, desaprovechando su valor formativo
(retrospectivo y prospectivo) para el rediseño instructivo.
Desde la teoría de los
campos conceptuales (Vergnaud, 2013) y la teoría de
la reificación (Sfard, 2008), un concepto matemático es una entidad dual
(operacional y estructural) que requiere un proceso continuo de acomodación y
asimilación. Asimismo, el Enfoque Ontosemiótico (EOS)
de la cognición matemática (Godino et al., 2021) concibe el tratamiento
conceptual como un macroproceso compuesto por tres subprocesos esenciales:
formación (abstracción inicial), desarrollo (enriquecimiento de propiedades) y
generalización (extensión semántica). La falta de una alternativa metodológica
que planifique estas etapas condena al estudiante a una actitud pasiva y
orientada exclusivamente a la acreditación.
La situación
problemática descrita justifica la necesidad de esta investigación, la cual se
concreta en el siguiente Objetivo General: proponer un procedimiento metodológico,
sustentado en acciones didácticas basadas en la resolución de problemas, que
contribuya a elevar la calidad en la enseñanza de conceptos de análisis
matemático en Ingeniería Geográfica.
DESARROLLO
Muestra y Metodología
La investigación se desarrolló
en la carrera de Ingeniería Geográfica de la Universidad Agostinho Neto, en la
República de Angola. La población y muestra de estudio estuvieron conformadas
por los estudiantes y docentes vinculados a la disciplina Análisis Matemático
II, con especial énfasis en el tratamiento didáctico del Cálculo Integral
(integral definida e indefinida), dado su rol como soporte analítico indispensable
para la modelación geodésica, el cálculo de volúmenes topográficos, el
procesamiento de datos geoespaciales y la cartografía de precisión.
Para el diseño del
procedimiento metodológico propuesto, se adoptó un enfoque metodológico mixto bajo los preceptos de la teoría de los campos conceptuales (Vergnaud, 2013), la reificación cognitiva (Sfard, 2008) y
el Enfoque Ontosemiótico (EOS) de la cognición matemática
(Godino et al., 2021). apoyado
en los siguientes métodos científicos:
- Métodos teóricos: El análisis-synthesis y la inducción-deducción para la sistematización
de los referentes pedagógicos; y la modelación didáctica para estructurar el
sistema de acciones basadas en la resolución de problemas (RDP), bajo los
preceptos de la teoría de los campos conceptuales (Vergnaud,
2013), la reificación cognitiva (Sfard, 2008) y el Enfoque Ontosemiótico (EOS) de la cognición matemática (Godino
et al., 2021).
- Métodos empíricos: Se aplicó una
triangulación metodológica que incluyó la revisión documental de los planes
de estudio y programas de la asignatura, la observación científica de
clases en el aula universitaria, y la aplicación de encuestas y entrevistas
diagnósticas a docentes y estudiantes de la carrera.
El objetivo general de
esta ruta metodológica fue diseñar un procedimiento sustentado en acciones
didácticas orientadas a la RDP que contribuya a elevar la calidad, el rigor y
la pertinencia de la enseñanza de conceptos de análisis matemático en la
formación del ingeniero geógrafo.
Resultados
El procesamiento de los
datos obtenidos mediante los métodos empíricos aplicados permitió, en un primer
momento, diagnosticar el estado actual del proceso de enseñanza-aprendizaje. Se
revelaron limitaciones metodológicas críticas en el tratamiento didáctico de
los conceptos de la integral, las cuales se sintetizan en las siguientes
contradicciones científicas de la práctica educativa:
- Predominio de un enfoque formal-deductivo
terminal: Introducción abstracta e inmediata de la definición de integral,
omitiendo el camino heurístico y su necesidad histórica o práctica.
- Linealidad en la fase de desarrollo:
Énfasis desmedido en la aplicación mecánica de reglas de integración y resolución
de tablas operativas, fragmentando la interconexión con el perfil
profesional geográfico del estudiante.
- Ausencia de generalización conceptual:
Escasez de espacios didácticos para que el alumno transfiera el concepto
hacia nuevas clases de objetos matemáticos o problemas de modelación del
entorno real.
- Desarticulación entre representaciones semióticas:
Ruptura en la transición de los registros verbales, gráficos, analíticos y
numéricos del concepto de acumulación integral.
- Tratamiento punitivo del error: Sanción
formal de las desviaciones procedimentales de los estudiantes,
desaprovechando su valor formativo (retrospectivo y prospectivo) para el
rediseño de la estrategia didáctica.
Como solución científica
a este diagnóstico, se obtuvo como resultado principal un procedimiento
metodológico interactivo. Este resultado se concreta en un sistema estructurado
de acciones didácticas basadas en la resolución de problemas contextualizados
en la topografía y el análisis espacial. El procedimiento guía de forma
articulada al docente y al discente a través de los subprocesos de formación,
desarrollo y generalización de los objetos matemáticos implicados en el Cálculo
Integral.
- Procedimiento metodológico para el
tratamiento de conceptos mediante la resolución de problemas
El procedimiento
metodológico propuesto se distancia de la enseñanza tradicional, caracterizada
por la presentación dogmática de la fórmula de la integral y la posterior
ejercitación mecánica. En su lugar, se concibe un ciclo didáctico estructurado
donde el estudiante de Ingeniería Geográfica transita operacionalmente por
situaciones-problema de su entorno físico y espacial, promoviendo la reificación
del concepto (Sfard, 2008).
De acuerdo con las
demandas del perfil profesional, el sistema de acciones se organiza a través de
los tres subprocesos del tratamiento conceptual del Enfoque Ontosemiótico
(Godino et al., 2021):
- A. Subproceso de Formación del Concepto:
La integral como acumulación
En esta etapa, el objetivo
es que el estudiante abstraiga la necesidad del concepto de integral definida a
partir de una situación de modelación de terrenos, un escenario típico en la
práctica de la Ingeniería Geográfica.
- Situación-Problema 1: Determinación de la
superficie de un asentamiento topográfico irregular
- Problema: Durante un levantamiento
topográfico en la provincia de Luanda, se delimita un terreno colindante
con una formación rocosa natural. Un tramo del perímetro está definido
por la función
en el intervalo cerrado 
, donde las unidades representan decámetros. Diseñe un método
geométrico aproximado para calcular el área total del terreno y determine
qué ocurre con la precisión del cálculo si la subdivisión del terreno
tiende al infinito. - Acciones Didácticas del Docente (Mediación
Heurística):
- Acción 1 (Modelación y partición): El
profesor orienta a los estudiantes a graficar la función y a aproximar el
área dividiendo el intervalo en
subintervalos de ancho
constante 
. Se insta a los alumnos a construir rectángulos inscritos y
circunscritos. - Acción 2 (Activación de invariantes
operatorios): El docente plantea las preguntas conductoras: “Si calculamos
la suma de las áreas de estos rectángulos, ¿el resultado es exacto? ¿Qué
elementos espaciales estamos omitiendo o duplicando?” Los estudiantes
identifican el error de truncamiento geométrico.
- Acción 3 (Transición al límite): El
profesor impulsa el conflicto cognitivo: “Si aumentamos el número de
subdivisiones
de manera que el ancho de
cada parcela 
se acerque a cero, ¿qué le
sucede al error de aproximación?” El estudiante deduce que el error se
reduce a cero, induciendo matemáticamente la noción estructural de la Suma
de Riemann. - Institucionalización del Concepto:
A partir de la
resolución del problema topográfico, el docente formaliza matemáticamente el
concepto de Integral Definida como el límite de las sumas de Riemann cuando la
norma de la partición tiende a cero:
Se explicita al
estudiante que, en su perfil de ingeniero, este objeto matemático representa el
operador fundamental para el cálculo de áreas geoespaciales sobre superficies
no lineales.
- B. Subproceso de Desarrollo
del Concepto: Propiedades y representaciones semióticas
Una vez formado el concepto
macro, es necesario enriquecerlo con sus propiedades operacionales y el Teorema
Fundamental del Cálculo (la conexión con la derivada).
- Situación-Problema 2: Modelación de la
acumulación de carga en un sistema de sensores geodésicos
- Problema: Un equipo de monitoreo
geodésico continuo despliega una red de sensores en el terreno. La
intensidad de la corriente eléctrica
que alimenta al sistema
varía en el tiempo según la función continua 
, donde 
representa la función de
carga acumulada. Si se conoce la tasa de variación de la corriente,
determine el procedimiento metodológico para reconstruir de forma inversa
la función de carga total 
en cualquier instante. - Acciones Didácticas del Docente (Mediación
Heurística):
- Acción 1 (Búsqueda inversa): El profesor
guía a los alumnos a plantear el problema en la dirección inversa a la
derivación: “Si en Análisis Matemático I buscábamos la tasa de cambio a
partir de la magnitud, ahora conocemos la tasa
y requerimos la magnitud
original . ¿Qué propiedad matemática define a una función cuya derivada es
igual a otra función dada?” El estudiante introduce conceptualmente la
noción de primitiva. - Acción 2 (Dualidad e indeterminación):
Mediante preguntas heurísticas, el docente hace notar que si
es una solución, entonces 
o 
también lo son, dado que la
derivada de una constante es cero. - Acción 3 (Articulación semiótica): El
profesor institucionaliza el concepto de Integral Indefinida como el
conjunto de todas las funciones primitivas:
Posteriormente, el
docente elabora de manera participativa con los estudiantes la tabla de integrales
indefinidas fundamentales, entrenando al estudiante en la selección de estrategias
heurísticas críticas como la integración por sustitución y la integración por
partes.
- C. Subproceso de
Generalización del Concepto: Transferencia multidisciplinar
En esta fase final de
máxima abstracción, el estudiante transfiere el objeto matemático consolidado
hacia aplicaciones de alta complejidad de la ingeniería espacial y la física de
la Tierra.
- Situación-Problema 3: Cálculo del centro
de masa de una cuenca hidrográfica para modelos de escorrentía
- Problema: Para predecir el comportamiento
del flujo de agua y la erosión en un terreno, un ingeniero geográfico
necesita determinar el centro de gravedad
de una región plana
homogénea que delimita una cuenca hidrográfica, acotada por las curvas
analíticas de nivel 
e 
en el intervalo 
. Diseñe el modelo integral que permite calcular los momentos
estáticos de la masa terrestre de dicha región. - Acciones Didácticas del Docente:
El profesor ya no
interviene de forma directa; actúa como un mediador de segundo orden (andamiaje
indirecto). Los estudiantes, organizados en equipos de trabajo
multidisciplinares, deben activar sus invariantes operatorias para generalizar
el concepto de integral (como acumulación de filamentos de masa continuos) y
deducir de forma autónoma las fórmulas de los momentos de inercia y centros de
masa mediante el cálculo integral:
Esta actividad de
generalización consolida la transición estructural del concepto (Sfard, 2008),
demostrando la utilidad directa del Análisis Matemático II en la resolución de
problemas reales de ingeniería.
Discusión
Los resultados
obtenidos confirman que la enseñanza tradicional del cálculo en el contexto
universitario angolano adolece de un enfoque formalista y abstracto que prioriza
la memorización algorítmica sobre la comprensión profunda (Artigue, 2020;
Santos-Trigo, 2021). Frente a este escenario pasivo, la propuesta diseñada
rescata los pilares de la pedagogía clásica que sitúan al estudiante como
gestor activo de su aprendizaje (Comenius, 1632/1986; Pestalozzi, 1801/2009),
fortalecidos bajo el enfoque histórico-cultural, donde el aprendizaje
desarrollador se consolida mediante la actividad constructiva y la resolución
de contradicciones.
La introducción de la Resolución
de Problemas (RDP) como el motor de la conceptualización conceptualiza la
matemática no como un producto terminado, sino como un andamiaje dinámico
(Kilpatrick, 2020; Santos-Trigo, 2021; Schoenfeld, 2022). Esto permite al
discente configurar estructuras mentales organizadas y flexibles, superando el
aprendizaje mecánico que limita la transferencia de conocimientos ante
escenarios profesionales inéditos (Ausubel, 2002; Beltrán, 1998).
Desde la perspectiva
cognitiva, la dualidad operacional y estructural de un concepto matemático (Sfard,
2008; Vergnaud, 2013) exige un tratamiento didáctico
que respete las etapas de asimilación del estudiante. El procedimiento
metodológico propuesto resuelve esta necesidad al operacionalizar las
directrices del Enfoque Ontosemiótico (EOS) (Godino
et al., 2021), el cual concibe el tratamiento conceptual como un macroproceso
compuesto por tres fases esenciales: formación (abstracción inicial),
desarrollo (enriquecimiento de propiedades) y generalización (extensión semántica). (Sfard, 2008;
Vergnaud, 2013).
Al planificar rigurosamente
estas etapas y articular la mediación heurística con los registros de
representación semiótica, se supera el tratamiento punitivo del error y se promueve
una transición fluida entre los registros gráfico, verbal y analítico, garantizando
una transposición didáctica de alta calidad y pertinencia para la enseñanza de
la ingeniería (Wilhelmi & Font, 2024).
CONCLUSIONES
El diagnóstico del
estado actual del proceso de enseñanza-aprendizaje del Análisis Matemático II
en la carrera de Ingeniería Geográfica de la Universidad Agostinho Neto
evidenció la persistencia de enfoques didácticos tradicionalistas y
formalistas. El tratamiento conceptual de la integral definida e indefinida se
prioriza de manera abstracta y terminal, lo que margina la mediación
heurística, la transposición didáctica contextualizada y las demandas
procedimentales de la práctica profesional cartográfica y geodésica del futuro
egresado.
El procedimiento
metodológico diseñado, fundamentado en el Enfoque Ontosemiótico
y articulado con la Teoría de los Campos Conceptuales de Vergnaud
y la Teoría de la Reificación de Sfard, sitúa a la resolución de problemas como
el núcleo dinamizador de la actividad cognitiva. Esta base teórica posibilitó
estructurar el tratamiento conceptual de la integral en tres subprocesos
dinámicos interconectados: formación, desarrollo y generalización de conceptos.
La modelación didáctica
de las acciones propuestas demostró que el uso de situaciones-problema contextualizadas
en el perfil profesional (como la estimación del área de asentamientos
irregulares en Luanda o el cálculo del centro de masa de cuencas hidrográficas)
actúa como un organizador previo eficaz para movilizar los esquemas mentales
del estudiante. El sistema de acciones del docente guía de manera fluida el
tránsito desde la intuición y la aproximación geométrica hasta la formalización
y transferencia multidisciplinar del objeto matemático de la integral.
La valoración teórica
realizada por el panel de especialistas confirmó la alta pertinencia, coherencia
interna y viabilidad pedagógica del procedimiento propuesto. Los resultados
obtenidos avalan que la alternativa metodológica constituye una respuesta científica
viable y estructurada para superar los vacíos didácticos identificados, aportando
una herramienta de alto valor para elevar la calidad de la educación matemática
superior en el contexto de la ingeniería en Angola.
REFERENCIAS
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